Fonctions et variation

Ce que vous saurez faire

Lisez un modèle comme une fonction. Mesurez la vitesse à laquelle sa sortie change quand son entrée change. Toutes les méthodes d’entraînement utilisent ce taux de variation pour améliorer un modèle.

Carnet JupyterFacultatif : vérifier les nombres dans un carnetColab · Kaggle · GitHub · en anglais

Le carnet (notebook) Jupyter est facultatif : une calculatrice suffit pour cette leçon. Il exprime le modèle de billets et la courbe d’apprentissage sous forme de fonctions Python. Vous mesurez des pentes et réduisez l’écart jusqu’à ce que la pente devienne la dérivée. La pratique guidée et la variante autonome comprennent des vérifications. Le carnet utilise seulement la bibliothèque standard de Python. Il ne nécessite donc aucune installation.

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Le carnet est en anglais. Colab et Kaggle ouvrent votre propre copie. Il faut un compte Google ou Kaggle gratuit. Vous êtes bloqué ? Consultez le carnet de solution.

Avant de commencerCe qu’il faut savoir et avoir sous la mainEnviron 40 minutes

Ce que vous devez savoir

• Lire une unité comme « minutes par cent mots », selon Lire les mathématiques : unités. Chaque pente de cette leçon a une unité de ce type.
• Lire des nombres décimaux comme 0,01 et 0,375, selon Lire les mathématiques : fractions, décimales et pourcentages.

Ce que vous devez préparer (le carnet n’en a pas besoin)

• Une calculatrice. Celle d’un téléphone suffit. La variante autonome divise 24 par 8,01.
• Votre fichier c03-notes.md. Vous l’avez créé dans l’encadré « Avant de commencer » de Lire les mathématiques. Ajoutez maintenant un titre : ## How models learn (comment les modèles apprennent). Si vous ne trouvez pas le fichier, créez un fichier vide portant ce nom. Ce module n’utilise pas les réponses des modules précédents.

Le carnet a été testé dans Jupyter avec Python 3.14.6 (bibliothèque standard seulement).

Larkfield jusqu’ici

Larkfield est une boutique en ligne fictive de produits pour la maison et le jardin. Les messages des clients deviennent des billets de soutien, environ 1 200 par semaine. L’équipe crée une IA qui suggère une équipe et une priorité pour chaque nouveau billet.

Dans ce module, la question est plus simple. Grace, responsable du soutien, planifie le travail de chaque journée. Elle demande : « Quand un billet arrive, combien de minutes faudra-t-il pour le traiter? » Tomás, l’ingénieur en IA, commence avec le modèle le plus simple possible. Il utilise une seule entrée, la longueur du billet. Priya, la scientifique des données, lui donne quatre billets traités pour apprendre :

Billet	Longueur (centaines de mots)	Minutes de traitement
T-3101	1	7
T-3102	2	13
T-3103	3	17
T-3104	4	26

Pendant les trois leçons de ce module, vous observez ce modèle apprendre. Dans cette leçon, vous apprenez à le lire.

Où vous rencontrez cette idée en IA

• Chaque modèle est une fonction. Un filtre antipourriel reçoit un courriel et donne un score. Un modèle de billets reçoit un billet et donne un nombre de minutes. Vous pouvez tester, tracer et comparer des modèles. Chacun transforme des entrées en sorties selon une règle fixe.
• Courbes d’entraînement. Un tableau de bord d’entraînement trace la perte (l’erreur du modèle) après chaque étape. Une courbe très inclinée signifie que le modèle s’améliore encore rapidement. Une courbe plate signifie qu’il ne s’améliore plus. Vous lisez la pente, pas la formule.
• Courbes d’apprentissage. Une équipe trace l’exactitude du modèle selon la quantité de données étiquetées. La pente répond à une question de coût : combien de points d’exactitude les 1 000 prochains exemples étiquetés apportent-ils?
• Sensibilité. « Si le billet contient cent mots de plus, de combien la prédiction change-t-elle? » C’est une pente, et elle a des unités.

Un modèle est une fonction

Une fonction est une règle qui donne exactement une sortie pour chaque entrée. Le modèle de Tomás suit cette règle :

$$\text{minutes} = w \times \text{length}$$

Lisez-la ainsi : « Les minutes prédites sont égales à w fois la longueur. » L’entrée est la longueur du billet, en centaines de mots. La sortie est le temps de traitement prédit, en minutes. Le nombre w est un paramètre : un nombre dans le modèle que l’entraînement choisit. Entraîner le modèle signifie trouver une bonne valeur pour w.

Tomás essaie w = 6. Un billet de 300 mots (longueur 3) reçoit alors une prédiction de 6 × 3 = 18 minutes.

Billet	Longueur (entrée)	Prédiction avec w = 6	Minutes réelles
T-3101	1	6	7
T-3102	2	12	13
T-3103	3	18	17
T-3104	4	24	26

Les quatre billets et le modèle avec w = 6. Chaque point représente un billet réel. La droite représente la prédiction du modèle pour chaque longueur.

Description textuelle du graphique

Quatre points : T-3101 à la longueur 1 et à 7 minutes, T-3102 à 2 et à 13, T-3103 à 3 et à 17, T-3104 à 4 et à 26. Une droite part de 0 et monte à 30 minutes à la longueur 5. C’est le modèle minutes = 6 × longueur. Les points sont près de la droite. T-3103 est 1 minute sous la droite, et T-3104 est 2 minutes au-dessus.

Pour lire le graphique d’une fonction, trouvez l’entrée sur l’axe horizontal. Montez jusqu’à la droite, puis lisez la sortie sur l’axe vertical. Pour la longueur 2,5, la droite indique 15 minutes. Le modèle peut répondre pour toute longueur, même celles qu’il n’a jamais vues.

Pente : variation de la sortie par unité d’entrée

Suivez la droite de la longueur 2 à la longueur 4. L’entrée change de 2 (centaines de mots). La prédiction passe de 12 à 24 minutes, une variation de 12 minutes. La sortie change donc de 12 ÷ 2 = 6 minutes par cent mots.

Ce nombre est la pente : la variation de la sortie pour chaque unité de variation de l’entrée. Elle a toujours des unités : unités de sortie par unité d’entrée. Ici, la pente indique que chaque centaine de mots supplémentaire ajoute 6 minutes de travail.

$$\text{slope} = \frac{\text{change in output}}{\text{change in input}} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Lisez-la ainsi : « La pente est égale à la variation de y divisée par la variation de x. » Le symbole Δ (la lettre grecque delta) signifie « variation de ».

Sur une droite, la pente est la même partout. Essayez de la longueur 1 à la longueur 3 : la prédiction passe de 6 à 18. La pente est donc encore 12 ÷ 2 = 6. Pour ce modèle, le paramètre w est la pente. Modifier w rend la droite plus ou moins inclinée :

• w = 4
• w = 6
• w = 8

Trois versions du même modèle. Un w plus grand donne une droite plus inclinée : davantage de minutes par centaine de mots supplémentaire.

Description textuelle du graphique

Trois droites partent de 0. Avec w = 4, la droite atteint 20 minutes à la longueur 5. Avec w = 6, elle atteint 30. Avec w = 8, elle atteint 40. Chaque droite monte de w minutes pour chaque centaine de mots.

Quelle droite est la meilleure? Les points des quatre billets sont les plus proches de la droite avec w = 6. Mais « les plus proches » n’est pas encore un nombre. La prochaine leçon transforme cette idée en nombre.

Courbes : la pente change

Beaucoup de fonctions utilisées en IA ne sont pas des droites. Omar, le gestionnaire de produit, veut un meilleur classificateur de billets. Les agents peuvent étiqueter davantage d’anciens billets pour l’entraîner, mais l’étiquetage prend du temps aux agents. Priya lui montre une courbe d’apprentissage : l’exactitude du classificateur après un entraînement sur toujours plus de billets étiquetés.

Les nombres ci-dessous sont illustratifs, et non mesurés. Ils suivent la règle exactitude = 94 − 24 ÷ x, où x représente des milliers de billets étiquetés. Vous n’avez pas besoin de la règle, seulement des valeurs :

Billets étiquetés (milliers)	1	2	4	8
Exactitude (%)	70	82	88	91

De 1 000 à 2 000 billets, l’exactitude augmente de 12 points : 12 points par millier. De 4 000 à 8 000, elle augmente de 3 points sur 4 milliers : 0,75 point par millier. La courbe devient plus plate. La pente dépend de l’endroit où vous la mesurez.

Elle dépend aussi de la distance considérée. De 2 000 à 4 000 billets, la pente est (88 − 82) ÷ 2 = 3 points par millier. De 2 000 à 3 000, elle est (86 − 82) ÷ 1 = 4. Quelle est la pente « à 2 000 »?

La pente en un point : la dérivée

Prenez le point à 2 000 billets. Tracez une droite passant par ce point et un deuxième point, légèrement à droite. Une droite passant par deux points d’une courbe est une sécante. Réduisez maintenant l’écart de plus en plus :

Écart (milliers)	Deuxième point	Exactitude au deuxième point	Hausse	Pente = hausse ÷ écart
2	4	88	6	3
1	3	86	4	4
0,5	2,5	84,4	2,4	4,8
0,1	2,1	82,571	0,571	5,714
0,01	2,01	82,060	0,060	5,970

Les pentes se rapprochent de plus en plus d’un nombre : 6. À cette limite, la droite touche seulement la courbe au point. Cette droite est la tangente.

La dérivée est la pente de la tangente. Elle indique la vitesse de variation de la sortie par unité d’entrée, pour une très petite variation en un point. Ici, la dérivée à 2 000 billets est de 6 points d’exactitude par millier de billets étiquetés. Les mathématiciens l’écrivent ainsi :

$$f'(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \quad \text{for a very small gap } h$$

Lisez-la ainsi : « La dérivée de f en x est environ la hausse de x à x plus h, divisée par h. » L’écart h doit être très petit. Vous n’avez jamais besoin de calculer cette limite à la main dans ce cours. Les logiciels calculent les dérivées pour vous. Votre travail consiste à les lire.

Explorer

Réduisez l'écart jusqu'à ce que la droite devienne la tangente

• Courbe
• Tangente au point
• Droite qui passe par les deux points

Point x

2

Sortie y

82

Écart h

2

Hausse (variation de y)

6

Pente de la droite = hausse ÷ écart

3

Pente de la tangente

6

Avec un écart de 2, la droite qui passe par les deux points a une pente de 3 (points par millier de billets). La tangente a une pente de 6. Réduisez l’écart.

La courbe d'apprentissage (valeurs illustratives). La droite pointillée passe par le point et un deuxième point à l'écart choisi. La droite foncée continue est la tangente au point.

Description textuelle de l’explorateur

Le graphique montre la courbe d’apprentissage, exactitude = 94 − 24 ÷ x. Les axes vont de 60 % à 100 % d’exactitude et de 0 à 10 milliers de billets étiquetés. Au départ, le point est à 2 milliers de billets et à 82 % d’exactitude. Le deuxième point est à 4 milliers et à 88 %. La droite pointillée passant par les deux points a une pente de 3 points par millier. La tangente au point a une pente de 6. Le premier curseur déplace le point entre 1 et 8 milliers de billets. Vous pouvez aussi faire glisser le point, ou le sélectionner et appuyer sur les touches fléchées. Le deuxième curseur règle l’écart : 2, 1, 0,5, 0,2, 0,1 ou 0,01. Quand l’écart diminue, la droite pointillée se rapproche de la tangente et sa pente passe de 3 à 5,97. À 4 milliers de billets, la pente de la tangente est de 1,5. À 8 milliers, elle est de 0,375.

Exemple détaillé : étiqueter davantage en vaut-il la peine?

Omar demande à Priya : « Chaque millier de billets étiquetés prend environ 50 heures de travail aux agents. Quand cela cesse-t-il d’en valoir la peine? » Priya lit la dérivée à trois points dans l’outil interactif :

Billets étiquetés actuellement	Exactitude	Dérivée (points par millier supplémentaire)	Ce que cela signifie
2 000	82 %	6	Le prochain millier de billets ajoute environ 6 points. Cela en vaut la peine.
4 000	88 %	1,5	Environ 1,5 point pour 50 heures. Peut-être.
8 000	91 %	0,375	Moins d’un demi-point. Cela n’en vaut probablement pas la peine.

Priya ajoute une mise en garde. La dérivée décrit une petite variation près du point. À 2 000 billets, la dérivée est de 6. Mais le gain réel de 2 000 à 3 000 est seulement de 4 points, car la courbe s’infléchit. Pour une variation plus grande, mesurez la courbe de nouveau au nouveau point.

Omar décide d’étiqueter jusqu’à environ 4 000 billets, puis de consacrer le temps des agents à d’autres tâches.

Pratique guidée : lire une pente à 4 000 billets

Utilisez l’outil interactif ci-dessus. Écrivez chaque réponse dans c03-notes.md.

1. Faites votre prédiction, puis appuyez sur I have made my prediction (j’ai fait ma prédiction).
2. Déplacez le point à 4.
3. Réglez l’écart à 2.
4. Écrivez la hausse et la pente de la droite pointillée. Résultat attendu : le deuxième point est à 6 milliers de billets, à 90 %. La hausse est de 2, et la pente est de 2 ÷ 2 = 1.
5. Réglez l’écart à 0,01.
6. Écrivez la pente de la droite pointillée et celle de la tangente. Résultat attendu : environ 1,496 et 1,5.
7. Écrivez une phrase qui explique la pente de la tangente, avec ses unités.

Afficher un exemple de réponse

À 4 000 billets étiquetés, l’exactitude est de 88 %. Avec un écart de 2, la droite va jusqu’à 6 000 billets et à 90 %. C’est une hausse de 2 points sur 2 milliers : une pente de 1 point par millier. Avec un écart de 0,01, la pente est de 1,496. La pente de la tangente est de 1,5.

Phrase : « À 4 000 billets étiquetés, l’exactitude augmente d’environ 1,5 point par millier supplémentaire de billets étiquetés, pour de petites variations. »

Vérification : votre phrase contient une unité (« points par millier de billets »). Vous ne pouvez pas comparer une pente sans unité à un coût.

Variante autonome : la pente à 8 000 billets

Travaillez maintenant d’abord avec la calculatrice. Utilisez l’outil interactif seulement pour vérifier. L’exactitude à x milliers de billets est de 94 − 24 ÷ x.

1. Calculez la pente entre 8 et 10 milliers de billets.
2. Calculez la pente entre 8 et 8,01 milliers de billets.
3. Expliquez à Omar, en une phrase, ce que le deuxième nombre signifie pour sa décision d’étiquetage.

Afficher un exemple de réponse

1. L’exactitude à 8 est de 94 − 3 = 91. À 10, elle est de 94 − 2,4 = 91,6. La hausse est de 0,6 sur un écart de 2. La pente est donc de 0,3 point par millier.
2. L’exactitude à 8,01 est de 94 − 24 ÷ 8,01 = 91,003745. La hausse est de 0,003745 sur un écart de 0,01. La pente est donc d’environ 0,3745. La pente de la tangente dans l’outil interactif est de 0,375.
3. « À 8 000 billets étiquetés, 1 000 billets de plus ajoutent moins d’un demi-point d’exactitude. Les 50 heures de travail des agents apportent donc très peu. »

Exécutez du Python dans votre navigateur

Facultatif : réduire l'écart en Python

Cet encadré reprend le tableau des sécantes pour le point à 2 000 billets. Remplacez point (point) par 4 ou 8 et vérifiez vos réponses ci-dessus. Les professionnels laissent une bibliothèque comme PyTorch ou JAX calculer les dérivées automatiquement.

Code Python (vous pouvez le modifier)def accuracy(x): """Accuracy (%) after x thousand labelled tickets (the curve in this lesson).""" return 94 - 24 / x point = 2 for gap in [2, 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001]: rise = accuracy(point + gap) - accuracy(point) print(f"gap {gap:<6} rise {rise:8.4f} slope {rise / gap:.4f}")

Erreur courante

Utiliser une pente loin de l'endroit où vous l'avez mesurée

Symptôme : un plan indique : « À 2 000 billets étiquetés, la pente est de 6 points par millier. Donc, 5 000 billets de plus ajouteront 30 points et donneront une exactitude de 112 %. » Le nombre est impossible, mais le plan est présenté à une réunion budgétaire.

Cause : une dérivée décrit la variation près d’un point. La courbe s’infléchit. La pente à 2 000 billets ne dit donc rien de fiable sur 7 000 billets.

Solution : utilisez une dérivée seulement pour de petites variations. Pour une grande variation, faites un petit pas, mesurez de nouveau la pente au nouveau point, puis répétez. Les méthodes d’entraînement suivent exactement cette règle. Vous verrez pourquoi dans les deux prochaines leçons.

Vérifiez votre compréhension

Tomás change le modèle pour minutes = 6,5 × longueur. Quelle est la pente, avec ses unités? Combien de minutes de plus le modèle prédit-il pour un billet de 400 mots que pour un billet de 200 mots?

Afficher la réponse

La pente est le paramètre : 6,5 minutes par cent mots. De 200 mots (longueur 2) à 400 mots (longueur 4), l’entrée change de 2. La prédiction change de 6,5 × 2 = 13 minutes. Vérification : 6,5 × 4 = 26 et 6,5 × 2 = 13, et 26 − 13 = 13.

Vérifiez votre compréhension

Sur une courbe, la droite passant par x = 3 et x = 4 a une pente de 2. La tangente en x = 3 a une pente de 2,67. Vous tracez une nouvelle droite depuis x = 3 avec un écart de 0,1. Prédisez sa pente : plus proche de 2 ou de 2,67? Pourquoi?

Afficher la réponse

Plus proche de 2,67. Un écart plus petit rapproche le deuxième point du premier. La droite passant par les deux points se rapproche donc de la tangente. (Ce sont les valeurs de la courbe d’apprentissage : avec un écart de 0,1, la pente est d’environ 2,58.)

Vérifiez votre compréhension

Un tableau de bord d'entraînement montre la perte après chaque étape. Sur les 2 000 dernières étapes, la courbe est presque plate. Quelle est sa pente, et qu'est-ce que cela indique à l'équipe?

Afficher la réponse

La pente est d’environ 0 : la perte change très peu par étape. D’autres étapes d’entraînement du même type n’amélioreront probablement pas beaucoup le modèle. L’équipe peut arrêter l’entraînement ou changer quelque chose, par exemple les données ou les réglages. Une forte pente descendante signifierait le contraire : le modèle s’améliore encore rapidement.

Récapitulatif

• Un modèle est une fonction : une règle qui transforme chaque entrée (longueur du billet) en une sortie (minutes). Ses paramètres, comme w, sont des nombres que l’entraînement choisit.
• La pente est la variation de la sortie par unité d’entrée, avec des unités : 6 minutes par cent mots.
• Sur une droite, la pente est la même partout. Sur une courbe, elle change d’un point à l’autre.
• La dérivée est la pente de la tangente en un point. Une droite passant par deux points devient la tangente quand l’écart diminue.
• Une dérivée décrit seulement de petites variations. Pour une grande variation, faites un pas et mesurez de nouveau.

Ensuite, vous mesurez l’erreur du modèle avec un seul nombre, la perte, et utilisez sa pente pour améliorer w.

Leçon suivante : Perte et gradients