Les distributions en pratique

Leçon 9
50 min
Module 3 : Probabilités et raisonnement conditionnel

Leçon 9 sur 18 · Mathématiques et statistiques essentielles pour l'IALes distributions en pratique

Aperçu du cours

1. Nombres, notation et résumés de données

2. Vecteurs et matrices

3. Probabilités et raisonnement conditionnel

4. Comment les modèles apprennent

5. Échantillonnage et preuves statistiques

6. Les statistiques au service des décisions sur les modèles

Ce que vous saurez faire

Décrivez l’ensemble des possibilités, pas une seule probabilité. Vous pourrez ainsi prévoir le nombre de billets de soutien urgents et sa variation. Vous saurez aussi quand la courbe normale donne une mauvaise réponse.

Carnet JupyterFacultatif : vérifier les nombres dans un carnetColab · Kaggle · GitHub · en anglais

Le carnet (notebook) Jupyter est facultatif : une calculatrice et l’explorateur suffisent pour cette leçon. Il calcule les probabilités binomiales avec math.comb et contient les données simulées des graphiques de cette page. Il contient aussi l’exercice guidé, la variante et l’exercice du module. Des vérifications indiquent si votre réponse est correcte sans la révéler. Il utilise seulement la bibliothèque standard de Python et ne demande donc aucune installation.

Ouvrir dans Colab Ouvrir dans Kaggle Voir sur GitHub

Le carnet est en anglais. Colab et Kaggle ouvrent votre propre copie. Il faut un compte Google ou Kaggle gratuit. Vous êtes bloqué ? Consultez le carnet de solution.

Avant de commencerCe qu’il faut savoir et avoir sous la mainEnviron 50 minutes

Ce que vous devez savoir

L’arbre des fréquences pour 10 000 billets, dans La probabilité conditionnelle : compter 10 000 billets. L’exercice du module l’utilise de nouveau.
L’indépendance, dans Événements et incertitude : indépendance. La distribution binomiale l’exige.
La moyenne et l’écart-type, dans Décrire un jeu de données : dispersion. L’écart-type est la distance typique entre une valeur et la moyenne. Cette leçon reprend les 12 billets du lundi : moyenne de 28,75 minutes, écart-type de 21,1 minutes.
L’asymétrie, dans Lire les distributions : asymétrie.

Ce que vous devez préparer (le carnet n’en a pas besoin)

Une calculatrice avec une touche de racine carrée. Celle d’un téléphone suffit.
Votre fichier c03-notes.md, avec le titre ## Probability (probabilité) de l’encadré « Avant de commencer » dans Événements et incertitude. Ajoutez un titre : ### Distributions (distributions). Si vous ne trouvez pas le fichier, créez un fichier vide portant ce nom : cette leçon n’utilise pas les réponses précédentes.
Environ 15 minutes à la fin pour l’exercice et la vérification du module.

Le carnet a été testé dans Jupyter avec Python 3.14.6 (bibliothèque standard seulement).

Où vous rencontrez cela en IA

Une prédiction est un événement à deux issues : oui ou non. Le modèle d’urgence étiquette chaque billet comme urgent ou non urgent. Un modèle de fraude étiquette chaque paiement comme frauduleux ou non frauduleux.
Des nombres pour planifier et surveiller. « Combien de billets urgents arrivent par heure? » détermine le nombre d’agents expérimentés à prévoir. « 12 billets urgents aujourd’hui : est-ce inhabituel? » détermine si quelqu’un cherche une panne.
Moyennes et bruit de mesure. L’exactitude sur les données de test change un peu à chaque mesure. C’est aussi le cas de la perte moyenne sur un lot de données d’entraînement et du temps de réponse mesuré. Leur dispersion suit souvent la courbe normale.
Des durées asymétriques. Les délais de réponse, les durées de traitement et les latences des requêtes ont une longue queue à droite. La courbe normale les décrit mal. Une équipe qui l’utilise fait alors des promesses erronées.

Une distribution : chaque valeur et sa probabilité

Une distribution énumère toutes les valeurs possibles et la probabilité de chacune. Vous en avez déjà utilisé une dans la leçon 1. Les cinq sorties du modèle d’équipe forment une distribution sur les cinq équipes. Cette leçon présente trois distributions qui reviennent souvent dans le travail en IA.

Bernoulli : un billet

Examinez un nouveau billet. Il est urgent ou il ne l’est pas. Écrivez 1 pour urgent et 0 pour non urgent. Chez Larkfield, 8 % des billets sont urgents :

Valeur	Signification	Probabilité
1	urgent	0,08
0	non urgent	0,92

Voilà toute la distribution : une distribution de Bernoulli, pour un événement à deux issues avec une probabilité p de « oui ». Sa moyenne est p, ici 0,08. Si vous écrivez 1 pour chaque billet urgent et 0 pour les autres, la moyenne de nombreux billets approche 0,08.

Binomiale : billets urgents dans un lot de 50

Les billets arrivent par lots d’environ 50 par heure. Grace demande : « Combien des 50 billets sont urgents? » La réponse n’est pas un nombre unique. Chaque heure est un peu différente. La distribution binomiale donne la probabilité de chaque nombre de billets urgents, de 0 à 50.

Elle convient quand trois conditions sont respectées :

Un nombre fixe de billets, n. Ici, n = 50.
La même probabilité pour chaque billet, p. Ici, p = 0,08.
Les billets sont indépendants : un billet urgent ne rend pas le suivant plus susceptible d’être urgent.

La troisième condition vient de la leçon 1. Pendant une panne, les billets urgents arrivent ensemble. La distribution binomiale ne décrit donc pas cette heure.

Voici les probabilités pour n = 50 et p = 0,08 :

Billets urgents	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10 ou plus
Probabilité (%)	1,5	6,7	14,3	19,9	20,4	16,3	10,6	5,8	2,7	1,1	0,6

Trois choses à lire dans le tableau :

Le centre. Les nombres les plus probables sont 3 et 4. La moyenne est n × p = 50 × 0,08 = 4 billets urgents par heure.
La dispersion. L’écart-type est $\sqrt{n \times p \times (1 - p)} = \sqrt{50 \times 0.08 \times 0.92} = \sqrt{3.68} = 1.92$ . Lisez-le comme « la racine carrée de n fois p fois un moins p ».
La forme. Le tableau n’est pas symétrique. Les nombres peuvent atteindre 10 ou plus, mais ils ne peuvent pas descendre sous 0. Le côté droit est donc plus long.

D’où vient une valeur? Prenons 0 billet urgent : chacun des 50 billets est non urgent, avec une probabilité de 0,92. Si les billets sont indépendants, multipliez : 0,92 multiplié par lui-même 50 fois donne 0,92⁵⁰ = 0,0155, soit les 1,5 % du tableau. Les autres valeurs demandent une étape supplémentaire : compter les façons de choisir les billets urgents. L’encadré Python facultatif ci-dessous les calcule. Dans le travail professionnel, scipy.stats.binom fait la même chose.

Explorer

Combien de billets urgents dans un lot?

Moyenne = n × p: 4
Écart type = √(n × p × (1 − p)): 1,92
Nombre le plus probable: 4
Plage dans environ 95 % des lots: de 1 à 8 (96,8 %)
Probabilité de dépasser la capacité: 10,2 %

Attendez-vous à environ 4 billets urgents; la plupart des lots en ont de 1 à 8. Plus de 6 : 10,2 % des lots, environ 1 sur 10.

Chaque barre représente la probabilité d'un nombre de billets urgents. Les barres orange dépassent la ligne de capacité.

Description textuelle de l’explorateur

L’explorateur a trois curseurs : la taille du lot n (1 à 1 200 billets), la probabilité p pour un billet (0 à 1) et la capacité. La capacité est le nombre maximal de billets urgents que l’équipe peut traiter dans un lot. Un interrupteur affiche la courbe normale avec la même moyenne et le même écart-type. Au départ, n = 50, p = 0,08 et la capacité est de 6. La moyenne est de 4, l’écart-type de 1,92 et le nombre le plus probable de 4. Parmi les lots, 96,8 % ont de 1 à 8 billets urgents et 10,2 % en ont plus de 6. À n = 500, la moyenne est de 40 et l’écart-type de 6,07 : environ 3,2 fois plus, pas 10 fois. À n = 1 200, la moyenne est de 96 et l’écart-type de 9,4. La courbe normale suit alors les barres de près. À n = 50 et p = 0,08, la courbe normale convient mal, car n × p = 4 est petit. À p = 0, chaque lot contient 0 billet urgent et l’écart-type est de 0.

L’écart-type augmente avec la racine carrée de n. Dix fois plus de billets donnent environ √10 ≈ 3,2 fois la dispersion. Un lot plus grand est donc plus prévisible par rapport à sa taille. 4 ± 1,9 est une grande plage autour de 4, mais 40 ± 6,1 est une petite plage autour de 40.

Exemple détaillé : Priya planifie l’heure de l’agent expérimenté

Grace dispose d’un agent expérimenté pour les billets urgents. L’agent peut traiter 6 billets urgents par heure. Grace demande : « À quelle fréquence est-ce insuffisant? »

Priya lit le tableau binomial pour n = 50 et p = 0,08 :

Question	Calcul	Résultat
Nombre attendu de billets urgents par heure	50 × 0,08	4
Dispersion typique	√(50 × 0,08 × 0,92)	1,92
Probabilité de 6 ou moins	1,5 + 6,7 + 14,3 + 19,9 + 20,4 + 16,3 + 10,6	89,8 % (les valeurs arrondies du tableau totalisent 89,7 %)
Probabilité de plus de 6	100 − 89,8	10,2 %, environ 1 heure sur 10
Probabilité de plus de 7	100 − 89,8 − 5,8	4,4 %, environ 1 heure sur 23

Priya répond : « Prévoyez 4 billets, mais la capacité de 6 de l’agent est insuffisante environ 1 heure sur 10. Dans une journée de 8 heures, au moins une telle heure survient environ 6 jours sur 10. Avec une capacité de 7, cela arrive environ 1 heure sur 23. » Omar peut maintenant comparer le coût d’un deuxième agent au coût de ces heures.

La moyenne seule (4 par heure) cacherait le problème. Prévoir le personnel selon la moyenne donne une équipe trop petite pendant de nombreuses heures.

Normale : la courbe en cloche

La distribution normale est la courbe symétrique en forme de cloche. Deux nombres la décrivent : sa moyenne (le centre) et son écart-type (la largeur). Elle est utile grâce à une règle pratique :

Environ 68 % des valeurs se trouvent à moins de 1 écart-type de la moyenne.
Environ 95 % des valeurs se trouvent à moins de 2 écarts-types de la moyenne.

On l’utilise aussi trop souvent. Voici quand elle convient et quand elle ne convient pas.

Quand elle convient : moyennes de nombreuses valeurs

Priya prend 300 échantillons de 30 billets chacun et calcule le délai de réponse moyen de chaque échantillon. Les délais de réponse individuels sont asymétriques, mais la moyenne de 30 délais ne l’est pas.

Le délai de réponse moyen de chacun des 300 échantillons de 30 billets (simulés). Les moyennes suivent la courbe normale ayant la même moyenne et le même écart-type.

Description textuelle du graphique

Un histogramme de 300 moyennes d’échantillons, allant d’environ 19 à 40 minutes. La courbe normale a la même moyenne (28,0 minutes) et le même écart-type (3,4 minutes). Les barres montent et descendent presque symétriquement autour de 28 minutes et suivent la courbe de près. Parmi les moyennes d’échantillons, 95,7 % se trouvent à moins de 2 écarts-types de la moyenne. C’est proche des 95 % prédits par la courbe normale. Les données sont simulées avec une valeur d’initialisation fixe.

C’est une tendance générale : la moyenne de nombreuses valeurs indépendantes suit une distribution proche de la normale, même si les valeurs elles-mêmes ne la suivent pas. Le module 5 l’utilise pour juger à quel point une moyenne mesurée peut s’éloigner de la vraie moyenne.

La courbe normale convient aussi à deux autres cas rencontrés dans le travail en IA :

Bruit de mesure. Mesurez 100 fois le temps de chargement d’un modèle. Les résultats diffèrent légèrement en raison de nombreuses petites causes. Leur dispersion est souvent proche de la normale.
Nombres avec une grande moyenne. Prenez une semaine de 1 200 billets. Le nombre de billets urgents a une moyenne de 1 200 × 0,08 = 96 et un écart-type de √(1 200 × 0,08 × 0,92) = 9,4. Dans l’explorateur, réglez n = 1 200 et activez la courbe normale : elle suit les barres de près. La règle des 95 % donne 96 ± 2 × 9,4, soit environ 77 à 115 billets urgents par semaine. La plage exacte de l’explorateur est de 78 à 115.

En règle générale, la courbe normale convient à un nombre binomial quand n × p et n × (1 − p) dépassent tous deux environ 5. Pour un lot de 50, n × p = 4. Elle convient donc mal, comme le montre l’explorateur.

Quand elle ne convient pas : délais de réponse asymétriques

Revenez aux 12 billets du lundi du module 1. Leurs délais de réponse ont une moyenne de 28,75 minutes et un écart-type d’environ 21,1 minutes. T-2052 a attendu 95 minutes. Que prédit une courbe normale avec cette moyenne et cet écart-type?

Prédiction de la courbe normale	Valeur	Réalité
Part des billets avec un délai de réponse inférieur à 0 minute	8,7 %, environ 1 sur 12	impossible : une réponse ne peut pas arriver avant le billet
Distance entre 95 minutes et la moyenne	(95 − 28,75) ÷ 21,1 = 3,1 écarts-types
Probabilité de 95 minutes ou plus	0,08 %, environ 1 sur 1 200	c’est arrivé à 1 billet sur 12

Le graphique montre le même problème avec un échantillon simulé plus grand, de 400 billets.

400 délais de réponse simulés. Les barres ont une longue queue à droite. La courbe normale avec la même moyenne et le même écart-type est symétrique et place certains billets sous 0 minute.

Description textuelle du graphique

Un histogramme de 400 délais de réponse simulés, allant de 3 à 105 minutes. La médiane est de 23 minutes, la moyenne de 26,4 minutes et l’écart-type de 15,2 minutes. La plupart des barres se trouvent entre 10 et 40 minutes. Une longue queue étroite dépasse 100 minutes. La courbe normale avec la même moyenne et le même écart-type est symétrique. Elle est trop haute à gauche : elle prédit 14,2 % des billets sous 10 minutes, mais seulement 5,8 % le sont. Elle place 4,2 % des billets sous 0 minute, dans la zone ombrée. À droite, elle prédit presque aucun billet au-delà de 80 minutes (0,02 %). Pourtant, 3 des 400 billets ont attendu plus longtemps.

Les délais de réponse sont asymétriques : la plupart sont courts, quelques-uns sont beaucoup plus longs et aucun n’est négatif. La courbe normale est symétrique. Elle décrit donc mal les deux extrémités. Pour des données asymétriques, décrivez les données avec la médiane et les centiles, comme dans le module 1. N’utilisez pas « moyenne ± 2 écarts-types ».

Exercice guidé : une heure calme

Les dimanches matin sont calmes : environ 20 billets par heure. La probabilité qu’un billet soit urgent reste de 0,08.

Écrivez le nombre moyen de billets urgents dans l’heure : n × p. Résultat attendu : 20 × 0,08 = 1,6.
Écrivez l’écart-type : √(n × p × (1 − p)). Résultat attendu : √(20 × 0,08 × 0,92) = √1,472 = 1,21.
Calculez la probabilité de n’avoir aucun billet urgent : 0,92²⁰. Résultat attendu : 0,189, environ 19 %.
Dans l’explorateur, réglez n = 20 et la capacité à 3. Lisez la probabilité de plus de 3. Résultat attendu : 7,1 %.
Activez la courbe normale. Écrivez une phrase : convient-elle? Pourquoi?

Afficher un exemple de réponse

Question	Résultat
Moyenne	20 × 0,08 = 1,6 billet urgent
Écart-type	√1,472 = 1,21
Aucun billet urgent	0,92²⁰ = 0,189 : environ 1 heure du dimanche sur 5
Plus de 3	7,1 % : environ 1 heure sur 14

La courbe normale convient mal. n × p = 1,6 est bien inférieur à 5. Les barres se concentrent à 0, 1 et 2. La courbe descend sous 0 billet urgent, ce qui est impossible.

Vérification : votre moyenne est inférieure à celle d’un lot de 50 (4). Votre écart-type est aussi plus petit (1,21 contre 1,92).

Variante autonome : une heure de panne

Changez une condition. Pendant une panne de paiement, 1 billet sur 5 est urgent : p = 0,20. Le lot contient toujours 50 billets. Utilisez l’explorateur.

Quelles sont la moyenne et l’écart-type? À quelle fréquence la capacité de 6 est-elle insuffisante? Quelle capacité garde la probabilité de dépassement près de 5 %? Écrivez ensuite une phrase : pourquoi les nombres binomiaux pourraient-ils rester trop bas pour une vraie panne?

Afficher un exemple de réponse

Moyenne : 50 × 0,20 = 10. Écart-type : √(50 × 0,20 × 0,80) = √8 = 2,83.
Plus de 6 : 89,7 %. Une capacité de 6 est insuffisante pendant presque toutes les heures de panne.
Capacité de 14 : la probabilité de plus de 14 est de 6,1 %. Capacité de 15 : 3,1 %. Prévoyez donc environ 14 ou 15.
La distribution binomiale suppose des billets indépendants. Pendant une panne, les billets ne sont pas indépendants : de nombreux clients écrivent sur le même problème en même temps. Les nombres réels peuvent donc être encore plus élevés et plus variables que les nombres binomiaux.

Exécutez du Python dans votre navigateur

Facultatif : calculer le tableau binomial

Cet encadré est facultatif. Il calcule les probabilités binomiales pour un lot de 50 avec math.comb. Cette fonction compte les façons de choisir les k billets urgents. Exécutez le code et comparez la sortie au tableau ci-dessus. Changez ensuite p à 0.20 et vérifiez votre réponse pour l’heure de panne.

Code Python (vous pouvez le modifier)

from math import comb

n = 50      # tickets in one batch
p = 0.08    # chance that one ticket is urgent

def chance(k):
    """Chance of exactly k urgent tickets in the batch."""
    return comb(n, k) * p ** k * (1 - p) ** (n - k)

for k in range(9):
    print(k, round(chance(k), 4))

up_to_6 = sum(chance(k) for k in range(7))
print("More than 6:", round(1 - up_to_6, 4))

Erreur courante

Utiliser la courbe normale pour des durées asymétriques

Symptôme : un tableau de bord promet « 99,9 % des billets reçoivent une réponse en moins de moyenne + 3 écarts-types, soit environ 92 minutes ». La première semaine, environ 1 billet sur 12 attend plus longtemps, et les clients se plaignent.

Cause : la promesse utilise la courbe normale, qui est symétrique. Les délais de réponse sont asymétriques : ils ne peuvent pas être inférieurs à 0 et ont une longue queue à droite. La courbe normale place trop peu de billets dans cette queue.

Correction : pour des mesures asymétriques, lisez les centiles dans les données. Écrivez « 95 % des billets reçoivent une réponse en moins de X minutes ». X est le 95e centile des délais mesurés. Utilisez la courbe normale pour les moyennes de nombreuses valeurs et pour les nombres avec un grand n × p. Vérifiez d’abord si elle convient à l’aide d’un histogramme.

Vérifiez votre compréhension

Prédisez : dans l'explorateur, le lot passe de 50 à 500 billets. L'écart-type du nombre de billets urgents augmente-t-il 10 fois? Qu'est-ce que cela signifie pour la planification?

Afficher la réponse

Non. L’écart-type augmente avec la racine carrée de n : de 1,92 à 6,07, soit environ 3,2 fois (√10 ≈ 3,16). La moyenne augmente 10 fois, de 4 à 40. Un lot plus grand est donc plus prévisible par rapport à sa taille. Planifier une journée ou une semaine entière est plus facile que planifier une seule heure.

Vérifiez votre compréhension

Lesquels de ces cas pouvez-vous décrire avec une distribution binomiale? (a) Les billets urgents parmi 50 billets lors d'une journée normale. (b) Les billets urgents parmi 50 billets pendant la première heure d'une panne. (c) Le délai de réponse d'un billet.

Afficher la réponse

Seulement (a). Pour (b), les billets ne sont pas indépendants : une seule cause rend de nombreux billets urgents en même temps. La distribution binomiale donne donc des nombres trop bas. Pour (c), un délai de réponse est une mesure en minutes, pas un nombre d’événements à deux issues. Sa distribution est asymétrique.

Exercices du module

Les exercices du module relient les trois leçons : calculez comment un événement rare change le sens d’un résultat positif. Suivez d’abord un exemple détaillé, puis faites le même exercice avec un taux de base différent.

Exemple détaillé : le signalement d’urgence

Le modèle d’urgence de Larkfield signale des billets de soutien à l’agent principal. Supposons qu’il ait la même qualité que l’alerte de paiement. Il signale 90 billets urgents sur 100, et 5 autres billets sur 100 par erreur. Les billets urgents représentent 8 % de tous les billets. Priya compte 10 000 billets :

Étape	Calcul	Nombre
Billets urgents	8 % de 10 000	800
Billets non urgents	10 000 − 800	9 200
Signalements réels	90 % de 800	720
Billets urgents manqués	800 − 720	80
Fausses alertes	5 % de 9 200	460
Tous les signalements	720 + 460	1 180
Proportion de signalements réels	720 ÷ 1 180	0,610, soit environ 61 %

Le signalement d'urgence sur 10 000 billets : taux de base de 8 %, rappel de 90 %, taux de fausses alertes de 5 %.

Description textuelle du graphique

Un arbre qui commence avec 10 000 billets. 8 % (800) sont urgents et 92 % (9 200) ne le sont pas. Parmi les 800 billets urgents, 90 % (720) sont signalés et 10 % (80) sont manqués. Parmi les 9 200 autres billets, 5 % (460) sont signalés par erreur et 95 % (8 740) ne sont pas signalés. Tous les signalements : 720 + 460 = 1 180.

Situation réelle	Signalé	Non signalé	Total
Urgent	720vrai signalement	80manqué	800total
Non urgent	460fausse alerte	8 740laissé à raison	9 200total
Total	1 180total	8 820total	10 000total

Part des cas réels qui sont signalés (rappel) : 720 ÷ 800 = 90 %
Part des signalements qui sont vrais (précision) : 720 ÷ 1 180 = 61 %

Les mêmes nombres dans une matrice de dépistage. La colonne encadrée contient tous les billets signalés.

Description textuelle du tableau

Billets urgents : 720 signalés (signalements réels) et 80 non signalés (manqués), soit 800 au total. Billets non urgents : 460 signalés (fausses alertes) et 8 740 non signalés, soit 9 200 au total. Total des billets signalés : 1 180. Rappel : 720 ÷ 800 = 90 %. Proportion de signalements réels : 720 ÷ 1 180 = 61,0 %.

Le signalement a le même rappel et le même taux de fausses alertes que l’alerte de paiement. Mais les billets urgents (8 %) sont 4 fois plus fréquents que les problèmes de paiement (2 %). Ainsi, 61 % des signalements sont réels, et non 27 %. La qualité d’un test ne détermine pas à elle seule le sens d’un résultat positif. Le taux de base le détermine aussi.

Votre tâche : un problème plus rare

Certains clients écrivent qu’ils demanderont à leur banque d’annuler un paiement (une rétrofacturation). Ces billets sont rares : 1 sur 100. Tomás propose un signalement de même qualité pour ces billets : un rappel de 90 % et un taux de fausses alertes de 5 %.

Dans c03-notes.md, sous un nouveau titre ### Module practice: Probability (exercices du module : probabilités) :

Dessinez l’arbre des fréquences pour 10 000 billets, avec tous les nombres.
Calculez la proportion de signalements réels.
Écrivez P(signalement | rétrofacturation) et P(rétrofacturation | signalement) sous forme de nombres. Dites laquelle est utile à l’équipe qui examine les signalements.
Vérifiez vos nombres avec l’explorateur ci-dessous.
Écrivez deux phrases pour Omar : un signalement devrait-il envoyer un billet directement au processus de contestation bancaire? Que changeriez-vous?

Explorer

Vérifiez votre arbre : taux de base, rappel et fausses alertes

Cas réels sur 10 000: 800
Vrais signalements: 720
Fausses alertes: 460
Tous les signalements: 1 180
Part des signalements qui sont vrais: 61 %
Exactitude (billets bien étiquetés): 94,6 %

Sur 1 180 billets signalés, 720 sont des cas réels : environ 61 sur 100. La plupart des signalements sont vrais, mais pas tous.

1 000 carrés. Chaque carré vaut 10 billets.

Signalé, cas réel
Signalé, fausse alerte
Manqué, cas réel
Non signalé, à raison

Les mêmes billets en arbre de fréquences

Tout signalement ayant un rappel et un taux de fausses alertes. Le point de départ est l'exemple détaillé (8 %). Chaque carré représente 10 des 10 000 billets.

Description textuelle de l’explorateur

L’explorateur a trois curseurs : la fréquence des cas réels (0 % à 50 %), le rappel et le taux de fausses alertes (0 % à 30 %). Il affiche 1 000 carrés, chacun représentant 10 billets, et un arbre des fréquences pour 10 000 billets. Il commence à l’exemple détaillé : 8 % de cas réels, 90 % de rappel et 5 % de fausses alertes. Cela donne 720 signalements réels, 460 fausses alertes et 61,0 % de signalements réels. Avec un taux de base de 1 %, il affiche 90 signalements réels, 495 fausses alertes et 15,4 % de signalements réels. La proportion est divisée par environ 4, et non 8, car le nombre de fausses alertes change peu. Avec un taux de fausses alertes de 0 %, chaque signalement est réel. Avec un rappel de 0 %, chaque signalement est une fausse alerte. Si aucun billet n’est signalé, l’explorateur indique qu’il n’y a aucune proportion à afficher.

Afficher la réponse modèle

Étape	Calcul	Nombre
Billets de rétrofacturation	1 % de 10 000	100
Autres billets	10 000 − 100	9 900
Signalements réels	90 % de 100	90
Billets manqués	100 − 90	10
Fausses alertes	5 % de 9 900	495
Billets correctement non signalés	9 900 − 495	9 405
Tous les signalements	90 + 495	585
Proportion de signalements réels	90 ÷ 585	0,154, soit environ 15 %

P(signalement | rétrofacturation) = 0,90 : sur 100 billets de rétrofacturation, le signalement en repère 90. C’est ce que mesure le test de Tomás.
P(rétrofacturation | signalement) = 0,154 : sur 100 billets signalés, environ 15 concernent une rétrofacturation. C’est ce dont l’équipe d’examen a besoin, car elle ne voit que les billets signalés.

« N’envoyez pas les billets signalés directement au processus de contestation bancaire : environ 85 signalements sur 100 ne concernent pas une rétrofacturation. Utilisez le signalement pour placer les billets en tête de la file d’une personne. Demandez aussi à Tomás de réduire le taux de fausses alertes. À 1 %, la proportion de signalements réels monte à environ 48 % (90 sur 189). »

Révision : l’arbre contient les six nombres et la proportion est de 0,15. Les deux probabilités conditionnelles portent les bons noms, dans le bon ordre.

Vérification du module

Vérifiez votre compréhension

Rappel des connaissances : qu'est-ce qu'un taux de base? Où se place-t-il dans un arbre des fréquences?

Afficher la réponse

Le taux de base est la proportion de tous les cas qui présentent la condition, avant tout test ou modèle. Par exemple, 2 % des billets concernent des problèmes de paiement. Il se place sur les premières branches de l’arbre. Il sépare les 10 000 billets en 200 avec le problème et 9 800 sans le problème. Le rappel et le taux de fausses alertes viennent ensuite, sur les deuxièmes branches.

Vérifiez votre compréhension

Prédisez : une nouvelle alerte a un rappel de 99 % et un taux de fausses alertes de 2 %. Elle cherche un problème dont le taux de base est de 0,1 % (1 billet sur 1 000). La plupart de ses signalements seront-ils réels? Expliquez avec des nombres pour 10 000 billets.

Afficher la réponse

Non. 0,1 % de 10 000 = 10 billets avec le problème, et l’alerte en signale environ 10 (99 %). Elle signale aussi 2 % des 9 990 autres billets, soit environ 200. Ainsi, environ 10 signalements sur 210 sont réels : moins de 5 %. Avec un problème très rare, même un faible taux de fausses alertes dans le grand groupe produit la plupart des signalements.

Vérifiez votre compréhension

Vérification finale : la documentation d'un modèle de fraude indique « pour un paiement frauduleux, le modèle déclenche une alerte dans 95 % des cas ». Un gestionnaire écrit dans un rapport : « quand le modèle déclenche une alerte, le paiement est frauduleux dans 95 % des cas ». Écrivez les deux affirmations comme des probabilités avec une barre. Dites ce qui est incorrect et ce qu'il faut pour trouver le deuxième nombre.

Afficher la réponse

La documentation donne P(alerte | fraude) = 0,95, le rappel. Le gestionnaire a écrit P(fraude | alerte) = 0,95, qui est l’inverse. Ce sont deux nombres différents : l’un divise par tous les paiements frauduleux, l’autre par toutes les alertes. Pour trouver P(fraude | alerte), il vous faut deux autres nombres. Le premier est le taux de base de la fraude parmi tous les paiements. Le second est le taux de fausses alertes, P(alerte | absence de fraude). Dessinez ensuite un arbre des fréquences pour 10 000 paiements et divisez les alertes réelles par toutes les alertes. Si la fraude est rare, P(fraude | alerte) peut être bien inférieur à 95 %.

Récapitulatif

Dans le module 3, vous avez appris à raisonner sur le hasard en comptant des billets :

Une probabilité est une proportion de cas. Les compléments, « et », « ou » et l’indépendance découlent des nombres. Des événements qui partagent une cause ne sont pas indépendants.
Une probabilité conditionnelle divise par un seul groupe. P(résultat | condition) et P(condition | résultat) sont des nombres différents. Un arbre des fréquences pour 10 000 cas permet de passer de l’un à l’autre.
Avec une condition rare, la plupart des résultats positifs peuvent être de fausses alertes, même avec un bon test. Le taux de base détermine le sens d’un résultat positif.
La loi de Bernoulli décrit un événement à réponse oui ou non. La loi binomiale décrit le nombre dans un lot d’événements indépendants, avec une moyenne n × p et un écart-type √(n × p × (1 − p)).
La courbe normale convient aux moyennes de nombreuses valeurs, au bruit de mesure et aux grands nombres de cas. Elle ne convient pas aux durées asymétriques, qui nécessitent la médiane et les centiles.

Ensuite, le module 4 montre comment un modèle apprend : vous descendez une courbe de perte, un pas à la fois.

Leçon suivante : Fonctions et variation