Événements et incertitude

Ce que vous saurez faire

Transformez « quelle est la probabilité? » en un décompte de billets. Cette habitude vous aide à lire la sortie d’un modèle. Vous pouvez aussi trouver la probabilité d’au moins un problème dans un système qui comporte plusieurs parties.

Carnet JupyterFacultatif : vérifier les nombres dans un carnetColab · Kaggle · GitHub · en anglais

Le carnet (notebook) Jupyter est facultatif : une calculatrice suffit pour cette leçon. Il contient le tableau du mardi, les trois vérifications et la simulation de la leçon en Python. Ses vérifications indiquent si votre réponse est correcte sans la montrer. Il utilise seulement la bibliothèque standard de Python, donc aucune installation n’est nécessaire.

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Le carnet est en anglais. Colab et Kaggle ouvrent votre propre copie. Il faut un compte Google ou Kaggle gratuit. Vous êtes bloqué ? Consultez le carnet de solution.

Avant de commencerCe qu’il faut savoir et avoir sous la mainEnviron 40 minutes

Ce que vous devez savoir

• Comment convertir une fraction en nombre décimal et en pourcentage : 8/100 = 0,08 = 8 %, dans Lire les mathématiques : fractions, décimales et pourcentages.
• Le module 2 est utile, mais ce module n’en dépend pas.

Ce que vous devez préparer (le carnet n’en a pas besoin)

• Une calculatrice. Celle d’un téléphone suffit.
• Votre fichier c03-notes.md. Vous l’avez créé dans l’encadré « Avant de commencer » de Lire les mathématiques. Ouvrez-le et ajoutez un titre : ## Probability (probabilité). Si vous ne trouvez pas le fichier, créez un fichier vide portant ce nom : ce module n’utilise pas les réponses précédentes.

Le carnet a été testé dans Jupyter avec Python 3.14.6 (bibliothèque standard seulement).

Retour chez Larkfield

Larkfield est une boutique en ligne de produits pour la maison et le jardin. Environ 1 200 messages de clients arrivent chaque semaine, et chacun devient un billet de soutien. Larkfield crée une IA qui suggère une équipe et une priorité pour chaque nouveau billet. Elle signale aussi les billets urgents à un agent expérimenté.

Dans ce module, la question est celle de la probabilité. À quelle fréquence un billet est-il urgent? Quand une alerte se déclenche, à quelle fréquence a-t-elle raison? Combien de billets urgents peuvent arriver en une heure? Priya, la scientifique des données, répond à chaque question en comptant d’abord les billets.

Où vous rencontrez ces notions en IA

• La sortie d’un modèle. Le modèle de billets lit « Ma carte a été débitée deux fois ». Il donne cinq nombres, un pour chaque équipe. Par exemple : paiement 0,81, retours 0,09. Ces nombres sont des probabilités.
• Un score pour une classe. Un modèle d’urgence indique « urgent : 0,8 ». Un filtre antipourriel indique « pourriel : 0,97 ». Un modèle de fraude donne une probabilité de fraude à chaque paiement par carte.
• Un système qui comporte plusieurs parties. Un billet passe par une vérification de langue, le modèle d’équipe et le modèle de priorité. Chaque partie échoue parfois. Quelle est la probabilité qu’au moins une partie échoue?
• La fréquence d’un événement. « 8 % des billets sont urgents » sert de point de départ à chaque alerte de ce module. Cette proportion sert aussi pour toutes les données de test et tous les plans de dotation.

Compter d’abord : 100 billets d’un mardi

Priya prend 100 billets d’un mardi. Pour chaque billet, elle note l’équipe qui l’a traité et s’il était urgent.

Équipe	Billets	Billets urgents
Retours	34	1
Livraison	28	2
Paiement	15	4
Garantie	13	0
Compte	10	1
Total	100	8

Avant de lire une règle, répondez à une question à partir du tableau. Si vous choisissez un de ces billets au hasard, quelle est la probabilité qu’il soit urgent? 8 des 100 billets sont urgents, donc la probabilité est de 8 sur 100.

C’est une probabilité : la proportion de cas où quelque chose se produit. Vous pouvez l’écrire comme une fraction (8/100), un nombre décimal (0,08) ou un pourcentage (8 %). Une probabilité n’a pas d’unité. Elle se situe toujours entre 0 (cela n’arrive jamais) et 1 (cela arrive toujours).

• Payment ticket, urgent : 4
• Payment ticket, not urgent : 11
• Other team, urgent : 4
• Other team, not urgent : 81

Les 100 billets du mardi, un carré par billet. Les carrés orange représentent les billets de paiement; un point indique un billet urgent.

Description textuelle du graphique

Une grille de 100 carrés, un pour chaque billet. 15 carrés sont orange (équipe Paiement) et 85 sont gris (les quatre autres équipes). Un point indique les 8 billets urgents : 4 sont des carrés orange et 4 sont des carrés gris. Ainsi, 4 billets de paiement sont urgents et 11 billets de paiement ne sont pas urgents. 4 sont des billets urgents d’autres équipes, et 81 ne sont ni des billets de paiement ni des billets urgents.

Les mots pour en parler

• Une issue est un résultat possible de ce que vous observez. Pour « quelle équipe reçoit ce billet? », une issue est « livraison ».
• L’univers est la liste de toutes les issues possibles. Ici, ce sont les cinq équipes : retours, livraison, paiement, garantie, compte. Une seule de ces issues se produit pour chaque billet.
• Un événement est un ensemble d’issues qui vous intéressent. « Le billet est urgent » est un événement. « Le billet va à l’équipe Paiement ou Compte » est aussi un événement.

Comme une seule issue de l’univers se produit, la somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1. Dans le tableau : 0,34 + 0,28 + 0,15 + 0,13 + 0,10 = 1,00.

Compléments : « pas » est souvent plus facile

Le complément d’un événement signifie que « l’événement ne se produit pas ». Si 8 billets sur 100 sont urgents, alors 92 sur 100 ne sont pas urgents.

$$P(\text{not urgent}) = 1 - P(\text{urgent}) = 1 - 0.08 = 0.92$$

Lisez cette expression ainsi : « la probabilité de non urgent est un moins la probabilité de urgent ». P( ) signifie « la probabilité de ». Vous utiliserez le complément plus loin dans cette leçon, quand « au moins un » est difficile à compter, mais « aucun » est facile.

Événements conjoints : « et » et « ou »

Un événement conjoint combine deux événements. Comptez les billets correspondants dans la grille ou le tableau :

Événement	Décompte	Probabilité
Billet de paiement	15 sur 100	0,15
Urgent	8 sur 100	0,08
Billet de paiement et urgent	les carrés orange avec un point : 4	0,04
Billet de paiement ou urgent (ou les deux)	15 + 8 − 4 = 19	0,19

Pour « ou », les 4 billets de paiement urgents font partie des deux groupes. Si vous additionnez 15 et 8, vous les comptez deux fois. Vous les soustrayez donc une fois. Voici la règle :

$$P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ and } B)$$

Indépendance : un événement change-t-il l’autre?

Deux événements sont indépendants quand connaître l’un ne vous apprend rien sur l’autre. Si « billet de paiement » et « urgent » étaient indépendants, les billets de paiement seraient urgents aussi souvent que l’ensemble des billets : 8 sur 100.

Vérifiez avec les décomptes. 15 billets sont des billets de paiement. Si 8 % étaient urgents, vous vous attendriez à 15 × 0,08 = 1,2 billet de paiement urgent. Priya en compte 4. Les billets de paiement sont urgents beaucoup plus souvent. C’est logique : « débité deux fois » ne peut pas attendre. Ces deux événements ne sont donc pas indépendants.

Vous pouvez multiplier les probabilités pour obtenir la probabilité conjointe seulement si les événements sont indépendants :

$$P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B) \quad \text{(only if A and B are independent)}$$

Ici, 0,15 × 0,08 = 0,012, mais la proportion réelle est 0,04. La règle donne la mauvaise réponse parce que sa condition n’est pas respectée.

La sortie d’un modèle est une probabilité sur un univers

Appliquons maintenant les mêmes idées à un modèle. Le modèle de billets lit T-2207, « Ma carte a été débitée deux fois pour une seule commande ». Il donne un nombre pour chaque équipe.

La sortie du modèle d'équipe pour le billet T-2207. Les cinq nombres couvrent tout l'univers, donc leur somme est égale à 1.

Description textuelle du graphique

Un diagramme à cinq colonnes, une pour chaque équipe. Paiement 0,81 (en orange, l’équipe mise en évidence), retours 0,09, compte 0,06, livraison 0,03, garantie 0,01. Leur somme est égale à 1,00.

Lisez la sortie avec les mots de cette leçon :

• L’univers comprend les cinq équipes. La somme des cinq nombres est 0,81 + 0,09 + 0,06 + 0,03 + 0,01 = 1,00.
• Le complément : la probabilité que T-2207 ne soit pas un billet de paiement est 1 − 0,81 = 0,19.
• « Compte ou retours » vaut 0,06 + 0,09 = 0,15. Ces deux événements ne peuvent pas se produire ensemble (un billet va à une seule équipe). Rien n’est donc compté deux fois.

Un modèle d’urgence donne un nombre, par exemple « urgent : 0,8 ». Le complément, « non urgent », vaut 0,2. Que signifie 0,8 pour un billet? Le billet est urgent ou il ne l’est pas. Le nombre prend son sens dans un décompte de nombreux billets : parmi de nombreux billets qui obtiennent 0,8, environ 80 sur 100 devraient être urgents. Si c’est vrai, le modèle est calibré. Beaucoup de modèles ne le sont pas, et le module 6 montre comment le vérifier.

Au moins une des trois vérifications échoue

Chaque nouveau billet passe par trois vérifications automatiques : une vérification de langue, le modèle d’équipe et le modèle de priorité. Chaque vérification échoue pour environ 2 billets sur 100 : le délai expire ou elle ne donne aucune réponse. Grace, la responsable du soutien, demande : « Combien de billets ont au moins un échec? »

« Au moins une échoue » comprend plusieurs cas : seulement la première, seulement la deuxième, la première et la troisième, etc. Le complément comprend un seul cas : aucune n’échoue. Priya compte donc le complément d’abord.

Si les trois vérifications échouent indépendamment, multipliez les probabilités que chacune fonctionne :

Étape	Calcul	Résultat
Une vérification fonctionne	1 − 0,02	0,98
Les trois fonctionnent	0,98 × 0,98 × 0,98	0,941
Au moins une échoue	1 − 0,941	0,059, environ 5,9 %
En une semaine de 1 200 billets	1 200 × 0,0588	environ 71 billets

Trois petites probabilités de 2 % donnent presque 6 %. Plus un système comporte de parties, plus un problème survient souvent quelque part.

• Chaque vérification échoue dans 2 % des cas
• Chaque vérification échoue dans 5 % des cas

La probabilité qu'au moins une vérification échoue augmente avec le nombre de vérifications. Les deux lignes supposent que les vérifications échouent indépendamment.

Description textuelle du graphique

Deux lignes pour 1 à 10 vérifications. Avec une probabilité d’échec de 2 % par vérification : 2 % pour 1 vérification, 5,9 % pour 3, 9,6 % pour 5 et 18,3 % pour 10. Avec une probabilité d’échec de 5 % par vérification : 5 % pour 1 vérification, 14,3 % pour 3, 22,6 % pour 5 et 40,1 % pour 10. Les deux lignes montent régulièrement, et la ligne de 5 % monte plus vite.

Quand l’indépendance ne tient plus

Mei, l’ingénieure de données, lit le calcul et ajoute un fait. Les trois vérifications lisent les données dans la même base de données de billets. Quand la base de données est lente, les trois vérifications échouent ensemble.

Les échecs ne sont maintenant pas indépendants. Ils partagent une cause. Comparez les deux scénarios pour « les trois échouent sur le même billet » :

• Indépendants : 0,02 × 0,02 × 0,02 = 0,000008, soit 8 billets sur un million.
• Une cause commune : quand la base de données est lente, les trois échouent en même temps. Si cela arrive pour 2 billets sur 100, « les trois échouent » survient environ 2 fois sur 100. C’est 2 500 fois plus souvent.

Les billets peuvent aussi être dépendants. Pendant une panne du système de paiement, 40 clients écrivent « débité deux fois » en une heure. Si un de ces billets est urgent, le suivant l’est probablement aussi. Un plan qui traite chaque billet comme un lancer de pièce distinct prévoit une arrivée régulière des billets urgents. Ils arrivent plutôt tous ensemble.

L’indépendance est une hypothèse, pas un fait. Avant de multiplier des probabilités, demandez-vous : ces événements partagent-ils une cause?

Exemple détaillé : Priya lit le rapport de panne

Le mois dernier, la base de données de billets a été lente pendant 5 heures. Omar, le gestionnaire de produit, demande à Priya si la conception à 3 vérifications est sûre.

1. Ce que dit le calcul avec indépendance. Au moins une vérification échoue pour 5,9 % des billets. Les trois échouent pour 8 billets sur un million, donc presque jamais.
2. Ce que disent les journaux (logs). Pendant les 5 heures de lenteur, 310 billets sont arrivés. Les trois vérifications ont échoué pour 296 d’entre eux.
3. Pourquoi les nombres diffèrent. Les vérifications partagent la base de données, donc leurs échecs ne sont pas indépendants. Le calcul de multiplication était correct, mais il répondait à la mauvaise question.
4. Ce que Priya recommande. Si les trois vérifications échouent, envoyez le billet dans la file normale et montrez-le à une personne. Ne l’abandonnez pas. Testez ensuite le système avec la base de données désactivée, car c’est le cas que la multiplication cachait.

Exercice guidé : compter les événements dans le tableau du mardi

Utilisez le tableau des 100 billets du mardi.

1. Dans c03-notes.md, ajoutez un titre : ### Guided practice: events and uncertainty (exercice guidé : événements et incertitude).
2. Écrivez la probabilité qu’un billet soit un billet de livraison. Résultat attendu : 28/100 = 0,28.
3. Écrivez la probabilité qu’un billet ne soit pas un billet de livraison, avec le complément. Résultat attendu : 1 − 0,28 = 0,72.
4. Écrivez la probabilité qu’un billet soit un billet de livraison et urgent. Résultat attendu : 2/100 = 0,02.
5. Calculez le nombre attendu de billets de livraison urgents si « livraison » et « urgent » sont indépendants : 28 × 0,08. Résultat attendu : 2,24.
6. Comparez 2,24 au décompte réel, 2. Écrivez une phrase : les deux événements sont-ils presque indépendants?

Afficher un exemple de réponse

Question	Réponse
P(livraison)	28/100 = 0,28
P(non livraison)	1 − 0,28 = 0,72
P(livraison et urgent)	2/100 = 0,02
Nombre attendu si indépendants	28 × 0,08 = 2,24
Décompte réel	2

2 est très proche de 2,24, donc « livraison » et « urgent » semblent indépendants dans cet échantillon. Un billet de livraison est urgent à peu près aussi souvent que n’importe quel billet. Comparez avec l’équipe Paiement : 1,2 attendu, 4 réels. Avec seulement 100 billets, de petits écarts peuvent venir du hasard. Le module 5 montre comment en juger.

Vérification : la somme de votre complément et de votre probabilité est exactement égale à 1.

Variation indépendante : des vérifications moins fiables

Changez une condition. Une nouvelle version du modèle de priorité est plus lente. Tomás, l’ingénieur en IA, mesure que chaque vérification échoue maintenant pour 5 billets sur 100. Les vérifications échouent toujours de façon indépendante.

Calculez la probabilité qu’au moins une des trois vérifications échoue. Calculez aussi le nombre de billets touchés en une semaine de 1 200 billets. Puis lisez le graphique ci-dessus : combien de vérifications le système peut-il avoir avant que cette probabilité dépasse 25 %?

Afficher un exemple de réponse

• Une vérification fonctionne : 1 − 0,05 = 0,95.
• Les trois fonctionnent : 0,95 × 0,95 × 0,95 = 0,857.
• Au moins une échoue : 1 − 0,857 = 0,143, soit environ 14,3 %.
• En une semaine : 1 200 × 0,1426 = environ 171 billets.
• Selon la ligne orange : 5 vérifications donnent 22,6 %, et 6 vérifications donnent 26,5 %. Donc, à 6 vérifications, la probabilité dépasse 25 %.

Passer de 2 % à 5 % par vérification semble un petit changement. Pour tout le système, c’est la différence entre environ 71 et environ 171 billets par semaine.

Exécutez du Python dans votre navigateur

Facultatif : simuler 100 000 billets

Cet encadré est facultatif. Il vérifie le résultat de 5,9 % avec une simulation. Le code attribue trois vérifications aléatoires à chacun des 100 000 billets. Il compte ensuite les billets avec au moins un échec. Exécutez-le, puis remplacez FAIL (échec) par 0.05 et comparez le résultat à votre réponse ci-dessus. Le résultat de la simulation varie un peu selon la graine aléatoire, mais reste proche de la formule.

Code Python (vous pouvez le modifier)import random random.seed(1) FAIL = 0.02 # each check fails for 2 in 100 tickets TICKETS = 100_000 with_failure = 0 for ticket in range(TICKETS): fails = [random.random() < FAIL for check in range(3)] if any(fails): with_failure += 1 print("Share with at least one failure:", with_failure / TICKETS) print("Formula 1 - 0.98 ** 3:", round(1 - 0.98 ** 3, 4))

Erreur courante

Multiplier les probabilités d'événements qui partagent une cause

Symptôme : un document de conception affirme : « Les trois vérifications échouent ensemble pour seulement 8 billets sur un million. Nous n’avons donc pas besoin de solution de rechange. » Puis la base de données ralentit pendant un après-midi. Près de 300 billets ne reçoivent ni équipe ni priorité.

Cause : le calcul a multiplié les trois probabilités d’échec. La multiplication est correcte seulement pour des événements indépendants. Les vérifications partagent une base de données. Quand celle-ci ralentit, elles échouent toutes ensemble.

Solution : pour chaque paire d’événements, demandez-vous s’ils partagent une cause : même base de données, même panne, même client, même journée. Si oui, ne multipliez pas les probabilités. Utilisez les journaux (logs) pour compter combien de fois ils surviennent ensemble, et prévoyez une solution pour cet échec commun.

Vérifiez votre compréhension

Le modèle d'équipe donne ces résultats pour le billet T-2310 : retours 0,62, livraison 0,30, les trois autres équipes 0,08 ensemble. Quelle est la probabilité que le billet ne concerne pas un retour? Pourquoi pouvez-vous être certain que les cinq résultats totalisent 1?

Afficher la réponse

La probabilité de « pas un retour » est 1 − 0,62 = 0,38 (ou 0,30 + 0,08 = 0,38). Les résultats totalisent 1 parce que les cinq équipes forment tout l’univers des possibles : chaque billet va à exactement une équipe. Si les résultats d’un modèle d’équipe ne totalisent pas 1, ils ne représentent pas des probabilités pour les cinq équipes.

Vérifiez votre compréhension

Faites une prédiction : les trois vérifications utilisent la même base de données. La probabilité réelle qu'elles échouent toutes pour le même billet est-elle supérieure ou inférieure à 0,02 × 0,02 × 0,02? Expliquez en une ou deux phrases.

Afficher la réponse

Supérieure, et de beaucoup. Le calcul 0,02 × 0,02 × 0,02 suppose que les vérifications échouent de façon indépendante. Avec une base de données commune, un seul ralentissement fait échouer les trois ensemble. Donc, « les trois échouent » survient à peu près aussi souvent que les ralentissements de la base de données. Ce n’est pas 8 fois sur un million.

Vérifiez votre compréhension

Sur 200 billets, 60 concernent la livraison et 20 sont urgents. Parmi eux, 6 sont des billets de livraison urgents. Les événements « livraison » et « urgent » semblent-ils indépendants? Montrez le nombre que vous avez comparé.

Afficher la réponse

Oui. S’ils sont indépendants, les billets de livraison sont urgents aussi souvent que l’ensemble des billets : 20/200 = 0,10. Vous attendez donc 60 × 0,10 = 6 billets de livraison urgents. Le nombre réel est 6, donc les données concordent avec l’indépendance.

Récapitulatif

• Une probabilité est une proportion de cas : comptez les billets où l’événement survient, puis divisez par le nombre total de billets.
• L’univers des possibles contient toutes les issues possibles. Les résultats d’un modèle pour cet univers totalisent 1.
• Le complément vaut 1 moins la probabilité. Utilisez-le pour « au moins un » : 1 − P(aucun).
• Pour « ou », ne comptez pas deux fois les cas communs. Pour « et », multipliez seulement si les événements sont indépendants.
• L’indépendance est une hypothèse. Les événements qui partagent une cause, comme une base de données ou une panne, ne sont pas indépendants.

Ensuite, vous examinez la probabilité au sein d’un groupe : à quelle fréquence un billet signalé concerne réellement un problème de paiement.

Leçon suivante : La probabilité conditionnelle